Class 10th real numbers– NCERT Mathematics
🔷 What are Real Numbers? | वास्तविक संख्याएँ क्या होती हैं?
🔹 Real numbers are all the numbers that can be placed on the number line.
🔹 They include rational and irrational numbers.
🔹 वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ होती हैं जिन्हें संख्या रेखा (number line) पर दर्शाया जा सकता है।
🔹 इनमें परिमेय (Rational) और अपरिमेय (Irrational) दोनों प्रकार की संख्याएँ शामिल होती हैं।
📌 Real Numbers = Rational Numbers + Irrational Numbers
📌 वास्तविक संख्याएँ = परिमेय संख्याएँ + अपरिमेय संख्याएँ
🧮 Types of Real Numbers | वास्तविक संख्याओं के प्रकार
| 🔢 Type | 📖 Meaning (अर्थ) | 💡 Examples (उदाहरण) |
|---|---|---|
| 🔹 Natural Numbers | Counting numbers (गणना करने वाली संख्याएँ) | 1, 2, 3, 4, … |
| 🔸 Whole Numbers | Natural numbers + 0 (प्राकृतिक संख्याओं में 0 जोड़ना) | 0, 1, 2, 3, … |
| 🔺 Integers | Whole numbers + Negative numbers (धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ) | -2, 0, 3, -5, … |
| ➗ Rational Numbers | Numbers in p/q form, q ≠ 0 (p/q के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं) | 1/2, 4, -5, 0.75 |
| √ Irrational Numbers | Cannot be expressed as p/q (p/q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकती) | √2, π, √3, 1.414… |
| 🧠 Real Numbers | All above numbers (सभी संख्याओं का समूह) | -3, 0, √2, 3/4, π |
🧩 Important Terms | महत्वपूर्ण गणितीय शब्द
| 🧮 Term (शब्द) | Explanation (व्याख्या) | Example (उदाहरण) |
|---|---|---|
| ✅ Factor (गुणनखण्ड) | A number that divides another exactly (जो किसी संख्या को पूरा विभाजित करे) | Factors of 12: 1, 2, 3… |
| ✖️ Product (गुणनफल) | Result after multiplication (गुणा करने के बाद मिलने वाला परिणाम) | 4 × 3 = 12 |
| ➕ Multiple (गुणज) | Multiplying a number by integers (किसी संख्या का गुणा करके प्राप्त संख्याएँ) | Multiples of 3: 3, 6, 9… |
| 🔢 Prime Number | Only two factors – 1 and itself (जिसके केवल 2 गुणनखण्ड हों) | 2, 3, 5, 7, 11 |
| 🔣 Composite Number | More than two factors (जिसके 2 से अधिक गुणनखण्ड हों) | 4, 6, 8, 9, 10 |
| 🔁 Co-prime Numbers | No common factor except 1 (सिर्फ 1 ही समान गुणनखण्ड हो) | 8 and 15 |
✅ Euclid’s Division Lemma | यूक्लिड का भाजन उपपत्ति
📌 Statement:
For any two positive integers a and b, there exist integers q and r such that:
a = bq + r, where 0 ≤ r < b
📌 कथन:
किसी भी दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, दो पूर्णांक q और r होंगे, जिससे:
a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
🎯 This is the base of Euclid’s Algorithm.
🎯 यही यूक्लिड के एल्गोरिदम का आधार है।
🧮 Example | उदाहरण
Let a = 20, b = 6
Then,
20 = 6 × 3 + 2
✅ Here, q = 3, r = 2 → and 0 ≤ 2 < 6 ⇒ Satisfies the condition
🔁 Euclid’s Algorithm to find HCF | महत्तम समापवर्त्य (HCF) निकालने की विधि
Steps:
1️⃣ Divide a by b:
→ a = bq + r
2️⃣ If r = 0 → HCF = b
3️⃣ If r ≠ 0 → repeat with (b, r)
🎯 Example: Find HCF of 56 and 24
- 56 = 24 × 2 + 8
- 24 = 8 × 3 + 0
✅ So, HCF = 8
🔶 Fundamental Theorem of Arithmetic | मौलिक अंकगणित प्रमेय
📌 Every composite number can be written as a product of prime numbers in a unique way (excluding order).
📌 हर संयोज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही प्रकार से (क्रम छोड़कर) लिखा जा सकता है।
🔢 Examples:
| Number | Prime Factorisation |
|---|---|
| 60 | 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 |
| 84 | 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7 |
🔧 Application of Prime Factorisation | उपयोग:
🔹 To find HCF and LCM
🔹 To prove irrationality
🔹 To simplify square roots
✍️ Example: HCF and LCM of 60 and 84
Prime Factorisation:
60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7
HCF = 2² × 3 = 12
LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
📋 Summary Table | सारांश तालिका
| Concept | English Explanation | Hindi Explanation |
|---|---|---|
| Real Numbers | All numbers on number line | संख्या रेखा पर मौजूद सभी संख्याएँ |
| Euclid’s Lemma | a = bq + r, where 0 ≤ r < b | a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b |
| Fundamental Theorem | Every composite number = product of prime | हर संयोज्य संख्या = अभाज्य संख्याओं का गुणनफल |
| HCF (Prime Factor Method) | Common lowest power product | समान अभाज्यों के न्यूनतम घात का गुणनफल |
| LCM (Prime Factor Method) | All highest powers product | सभी अभाज्यों के अधिकतम घात का गुणनफल |
📌 Irrational Numbers and How to Prove a Number is Irrational
📚 अपरिमेय संख्याएँ और यह सिद्ध करना कि कोई संख्या अपरिमेय है
🧠 What is an Irrational Number? | अपरिमेय संख्या क्या होती है?
📖 Definition in English:
An irrational number is a number that cannot be expressed in the form of p/q, where p and q are integers and q ≠ 0.
It has a non-terminating and non-repeating decimal expansion.
📖 परिभाषा हिंदी में:
अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0 हो।
इनका दशमलव रूप अंतहीन (non-terminating) और दोहराव रहित (non-repeating) होता है।
💡 Examples of Irrational Numbers | अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण:
| 🔢 Number | Decimal Expansion | 📌 Nature |
|---|---|---|
| √2 | 1.4142135… (non-repeating) | Irrational (अपरिमेय) |
| π (pi) | 3.1415926… (non-repeating) | Irrational |
| √3 | 1.7320508… | Irrational |
✅ How to Prove √2 is Irrational?
📘 √2 को अपरिमेय सिद्ध कैसे करें?
We will use a proof by contradiction
हम “विरोध द्वारा प्रमाण (Contradiction)” विधि का उपयोग करेंगे।
🔷 Step-by-step Proof in English:
- Assume √2 is rational, i.e.,
√2 = p/q where p and q are integers and q ≠ 0, and p/q is in lowest form. - Squaring both sides:
2 = p² / q²
⇒ p² = 2q² - So, p² is even, which means p must be even (since square of odd is odd).
Let p = 2k - Putting in equation:
(2k)² = 2q²
⇒ 4k² = 2q²
⇒ q² = 2k²
⇒ q² is even ⇒ q is also even - So both p and q are even, which means they have a common factor 2.
🛑 Contradiction! This contradicts our assumption that p/q is in lowest terms.
✅ Hence, √2 is irrational.
🔷 हिंदी में चरणबद्ध प्रमाण: √2 अपरिमेय है
- मान लें कि √2 परिमेय है, यानी
√2 = p/q (जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0, और भिन्न सरलीकृत रूप में है) - दोनों तरफ वर्ग करें:
2 = p² / q²
⇒ p² = 2q² - इसका अर्थ है p² सम संख्या है ⇒ p भी सम होगा
मान लें p = 2k - समीकरण में रखें:
(2k)² = 2q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k²
⇒ q² भी सम ⇒ q भी सम है - इसका मतलब p और q दोनों सम हैं ⇒ दोनों में 2 एक सामान्य गुणनखंड है
🛑 विरोध! हमने यह माना था कि p/q सरलीकृत रूप में है, पर अब दोनों में 2 समान आ गया।
✅ इसलिए √2 परिमेय नहीं बल्कि अपरिमेय संख्या है।
💡 Similarly, you can prove: | इसी प्रकार आप सिद्ध कर सकते हैं:
| Number | Nature | प्रमाण की विधि |
|---|---|---|
| √3 | Irrational | Same contradiction |
| √5 | Irrational | Same method |
| π (pi) | Irrational | Proven in higher math (not required in detail here) |
📚 Important Points Summary | महत्वपूर्ण बिंदुओं का सारांश
| 🔢 Concept | 📝 English | 📝 Hindi |
|---|---|---|
| Irrational Numbers | Not expressible as p/q | p/q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकती |
| Decimal Form | Non-terminating & Non-repeating | अंतहीन और दोहराव रहित |
| Example | √2, π, √3 | √2, π, √3 |
| Proof Method (√2) | Contradiction | विरोध द्वारा प्रमाण |
| Result | √2 is irrational | √2 अपरिमेय है |
📘 Decimal Representation of Rational Numbers
📗 परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप
(Class 10th Maths – NCERT | Bilingual Notes: English + Hindi)
🔶 Definition: What is Decimal Expansion? | दशमलव विस्तार क्या है?
📝 In English:
When a fraction (like 1/2, 3/4, 5/6) is written in decimal form using division, the result is called its decimal expansion.
📝 हिंदी में:
जब किसी भिन्न (जैसे 1/2, 3/4, 5/6) को भाग देकर दशमलव रूप में लिखा जाता है, तो उसे उस संख्या का दशमलव विस्तार कहते हैं।
📊 Types of Decimal Expansion | दशमलव विस्तार के प्रकार
| 🔢 Type (प्रकार) | 📘 Definition in English | 📗 परिभाषा हिंदी में | 💡 Examples (उदाहरण) |
|---|---|---|---|
| 1️⃣ Terminating Decimal | Decimal that ends after a finite number of digits | ऐसा दशमलव जो कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है | 1/2 = 0.5 3/4 = 0.75 |
| 2️⃣ Non-Terminating but Repeating Decimal | Decimal that goes on forever but has a repeating pattern of digits | ऐसा दशमलव जो अनंत तक चलता है लेकिन एक पैटर्न बार-बार दोहराता है | 1/3 = 0.333… 22/7 = 3.142857… |
| 3️⃣ Non-Terminating and Non-Repeating Decimal | Decimal that goes on forever without any repeating pattern (Irrational) | ऐसा दशमलव जो अनंत तक चलता है और कोई पैटर्न नहीं दोहराता (अपरिमेय) | √2 = 1.414213… π = 3.141592… |
🔍 How to Identify Terminating or Non-Terminating Repeating Decimal?
📘 कैसे पहचानें कि दशमलव समाप्त होगा या दोहराएगा?
For any rational number in lowest form:
Let the denominator be ‘q’ in the form p/q.
➡️ If q has only 2 or 5 or both as prime factors, then the decimal expansion is terminating.
➡️ If q has any other prime factor, then the decimal expansion is non-terminating repeating.
🧮 Rule with Examples | नियम उदाहरणों के साथ:
| Fraction (p/q) | Denominator (q) | Prime Factors of q | Decimal Type | Example in Hindi |
|---|---|---|---|---|
| 1/8 | 8 | 2³ | Terminating (समाप्त) | 1/8 = 0.125 |
| 7/20 | 20 | 2² × 5 | Terminating | 7/20 = 0.35 |
| 1/6 | 6 | 2 × 3 | Repeating (दोहराव) | 1/6 = 0.1666… |
| 4/11 | 11 | 11 (not 2 or 5) | Repeating | 4/11 = 0.3636… |
✅ Summary Table | सारांश तालिका
| 🔍 Type of Decimal | 🔠 English Description | 🇮🇳 Hindi Description |
|---|---|---|
| Terminating Decimal | Ends after finite digits | सीमित अंकों के बाद समाप्त होता है |
| Non-Terminating Repeating | Continues but digits repeat in a pattern | चलता रहता है लेकिन एक पैटर्न दोहराता है |
| Non-Terminating Non-Repeating | Continues with no pattern (Irrational number) | बिना पैटर्न के चलता है – अपरिमेय संख्या |
| Rule to Check | Prime factors of denominator (only 2, 5?) | हर में केवल 2 और 5 के गुणनखंड हों तो समाप्त होगा |
✨ Final Note | अंतिम टिप्पणी
- All rational numbers have decimal expansions that either terminate or repeat.
- All irrational numbers have decimal expansions that neither terminate nor repeat.
